题目内容

已知:函数f(x)=2
3
sin2x+
cos3x
cosx

(1)求函数f(x)的最大值及此时x的值;
(2)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且对f(x)定义域中的任意的x都有f(x)≤f(A).现在给出三个条件:①a=2;②B=45°;③c=
3
b
,试从中选出两个可以确定△ABC的条件,写出你的选择并以此为依据求△ABC的面积.(只需写出一个选定方案即可)
分析:(1)由已知中函数f(x)=2
3
sin2x+
cos3x
cosx
.利用两角和的余弦公式,及二倍角公式,辅助角公式,可以将式子化简为一个正弦型函数的形式,根据正弦型函数的性质,即可得到答案.
(2)由已知中对f(x)定义域中的任意的x都有f(x)≤f(A),我们易求出A的大小,结合:①a=2;②B=45°;③c=
3
b
,易求出△ABC的面积.
解答:解:(1)f(x)=2
3
sin2x+
cos3x
cosx

=2
3
sin2x+
cos2x•cosx-sin2x•sinx
cosx

=2
3
sin2x+cos2x-2sin 2x

=2
3
sin2x+2cos2x-1

=4sin(2x+
π
6
)-1
…4分
所以当2x+
π
6
=2kπ+
π
2
,k∈Z时,f(x)取最大值3,
此时,x=kπ+
π
6
,k∈Z;…(6分)
(2)由f(A)是f(x)的最大值及A∈(0,π),得到,A=
π
6

方案1 选择①②…(7分)
由正弦定理
a
sin
π
6
=
b
sin
π
4
,则b=2
2

sinC=sin(A+B)=
2
+
6
4
,…(10分)
所以,面积S=
1
2
a•b•sinC=
3
+1.…(12分)
点评:本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用,三角形中的几何计算,三角函数的最值,解三角形,其中(1)的关键是化简函数的解析式为一个正弦型函数的形式,(2)的关键是求出A的大小.
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