Question

如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、P分别是BC、A₁D₁的中点，M、N分别是AE、CD₁的中点，AD=AA₁=a,AB=2a.

(1)求证：MN∥面ADD₁A₁；

(2)求二面角P—AE—D的大小.

Answer 1

(1)证明：取CD的中点K，连结MK、NK.

∵M、N、K分别为AE、CD₁、CD的中点，

∴MK∥AD，NK∥DD₁.

∴MK∥面ADD₁A₁，NK∥面ADD₁A₁.

∴面MNK∥面ADD₁A₁.

∴MN∥面ADD₁A₁.

(2)解：设F为AD的中点，

∵P为A₁D₁的中点，∴PF∥D₁D.∴PF⊥面ABCD.

    作FH⊥AE，交AE于H，连接PH，则由三垂线定理得AE⊥PH.

    从而∠PHF为二面角P—AE—D的平面角.

    在Rt△AEF中，AF=,EF=2a,AE=a,

    从而FH=.

    在Rt△PFH中，tanPHF=,

    故二面角P—AE—D的大小是arctan.