Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右焦点到直线x-y+2

2

=0的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率为k（k≠0），且过定点Q(0，

3

2

)的直线l，使l与椭圆交于两个不同的点M、N，且|BM|=|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，由已知得b=1．设右焦点为（c，0），由题意得

c+2 2

2

=3，由此能求出椭圆的方程．
（2）直线l的方程y=kx+

3

2

，代入椭圆方程，得（1+3k²）x²+9kx+

15

4

=0．由△=81k²-15（1+3k²）＞0得k2＞

5

12

，设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

-9k

1+3k2

，设M、N的中点为P，则点P的坐标为(

-9k

2+6k2

，

3

2+6k2

)．由此入手能够导出直线l的方程．

解答：解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，由已知得b=1．
设右焦点为（c，0），由题意得

c+2 2

2

=3，∴c=

2

，
∴a²=b²+c²=3．
∴椭圆的方程为

x2

3

+y2=1．
（2）直线l的方程y=kx+

3

2

，代入椭圆方程，得
（1+3k²）x²+9kx+

15

4

=0．
由△=81k²-15（1+3k²）＞0得k2＞

5

12

，
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=

-9k

1+3k2

，
设M、N的中点为P，则点P的坐标为(

-9k

2+6k2

，

3

2+6k2

)．
∵|BM|=|BN|，∴点B在线段MN的中垂线上．
kBP=-

1

k

=

3 2+6k2 +1

-9k 2+6k2

，化简，得k2=

2

3

．
∵

2

3

＞

5

12

，∴k=±

6

3

，
所以，存在直线l满足题意，直线l的方程为

6

3

x-y+

3

2

=0或

6

3

x+y-

3

2

=0．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．