题目内容

设动点M的坐标为(x,y)(x、y∈R),向量
a
=(x-2,y),
b
=(x+2,y),且|a|+|b|=8,
(I)求动点M(x,y)的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点N(0,2)作直线l与曲线C交于A、B两点,若
OP
=
OA
+
OB
(O为坐标原点),是否存在直线l,使得四边形OAPB为矩形,若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.
分析:(I)把
a
=(x-2,y),
b
=(x+2,y)代入|a|+|b|=8,根据椭圆的定义即可求得动点M(x,y)的轨迹C的方程;
(Ⅱ)假设存在直线l,使得四边形OAPB为矩形,即OA⊥OB,设出直线l的方程,联立直线和椭圆方程,利用韦达定理即可得出结论.
解答:解:(I)因为|a|+|b|=8,所以
(x+2)2+y2
+
(x-2)2+y2
=8

所以动点M的轨迹是到定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之和为8的椭圆.
则曲线C的方程是
x2
16
+
y2
12
=1

(Ⅱ)因为直线l过点N(0,2),若直线l的斜率不存在,则l的方程为x=0,与椭圆的两个交点A、B为椭圆的顶点.
OP
=
OA
+
OB
,则P与O重合,与OAPB为四边形矛盾.
若直线l的斜率存在,设方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).
y=kx+2
x2
16
+
y2
12
=1
得(4k2+3)x2+16kx-32=0.
△=256k2+128(4k2+3)>0恒成立.
由根与系数关系得:x1+x2=-
16k
4k2+3
x1x2=
-32
4k2+3

因为
OP
=
OA
+
OB
,所以四边形OAPB为平行四边形.
若存在直线l使四边形OAPB为矩形,则
OA
OB
,即
OA
OB
=0

所以x1x2+y1y2=0.
所以(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0.
(1+k2)(-
32
4k2+3
)-2k•
16k
4k2+3
+4=0

化简得:12k2+5=0.与斜率存在矛盾.
则不存在直线l,使得四边形OAPB为矩形.
点评:考查向量和解析几何相结合,体现了向量的工具性,考查椭圆的定义和直线与椭圆的位置关系问题,属难题.
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