Question

如图，在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE是直角梯形，∠BED=90°，BE∥CD，AB=6，BC=5，

CD

BE

=

1

3

，侧面ABE⊥底面BCDE，∠BAE=90°．
（1）求证：平面ADE⊥平面ABE；
（2）过点D作面α∥平面ABC，分别于BE，AE交于点F，G，求△DFG的面积．

Answer 1

分析：（1）欲证平面ADE⊥平面ABE，根据面面垂直的判定定理可知在平面ABE内一直线与平面ADE垂直，根据面面垂直的性质可知DE⊥平面ABE，则AB⊥DE，而AB⊥AE，根据线面垂直的判定定理可知AB⊥平面ADE，满足面面垂直的判定定理所需条件；
（2）根据先证四边形BCDF为平行四边形，求出DF，根据比例关系求出FG，由（1）易证：FG⊥平面ADE，则FG⊥DG，从而求出DG，最后利用直角三角形的面积公式求出所求即可．

解答：证明：（1）因为侧面ABE⊥底面BCDE，
侧面ABE∩底面BCDE=BE，
DE?底面BCDE，
DE⊥BE，
所以DE⊥平面ABE，
所以AB⊥DE，
又因为AB⊥AE，
所以AB⊥平面ADE，
所以平面ADE⊥平面ABE；7
（2）因为平面α∥平面ABC，
所以DF∥BC，同理FG∥AB9
所以四边形BCDF为平行四边形．
所以DF=BC=5，CD=BF，
因为

CD

BE

=

1

3

，所以

EF

EB

=

2

3

所以FG=

2

3

AB=411
由（1）易证：FG⊥平面ADE，
所以FG⊥DG，
所以DG=3
所以△DFG的面积S=6.14

点评：本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及线面垂直的性质和三角形的面积的计算，同时考查了空间想象能力，计算能力和推理能力，以及转化与划归的思想，属于中档题．