Question

已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，其图象均在x轴的上方，对任意的m、n∈[0，+∞），都有f（m•n）=[f（m）]ⁿ，且f（2）=4，又当x≥0时，其导函数f′（x）＞0恒成立．
（Ⅰ）求F（0）、f（-1）的值；
（Ⅱ）解关于x的不等式：[f(

kx+2

2 x2+4

)]2≥2，其中k∈（-1，1）．

Answer 1

分析：（1）由f（m•n）=[f（m）]ⁿ，恒成立，令m=n=0，结合我们易得函数y=f（x）的图象均在x轴的上方，故f（0）＞0易得f（0）的值，令m=1，n=2，结合f（2）=4，易得f（1）的值，结合函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，可得到f（-1）的值；
（2）由y=f（x）在区间[0，+∞）上为单调递增函数，又由函数为偶函数，故函数在（-∞，0]为单调递减函数，故[f(

kx+2

2 x2+4

)]2≥2可转化为（k²-1）x²+4kx≥0对k值进行分类讨论后，易得结论．

解答：解：（1）由f（m•n）=[f（m）]ⁿ得：f（0）=f（0×0）=[f（0）]⁰
∵函数f（x）的图象均在x轴的上方，
∴f（0）＞0，∴f（0）=1（3分）
∵f（2）=f（1×2）=[f（1）]²=4，又f（x）＞0
∴f（1）=2，f（-1）=f（1）=2（3分）
（2）[f(

kx+2

2 x2+4

)]2≥2?f(

kx+2

2 x2+4

•2)≥2?f(

kx+2

x2+4

)≥f(±1)?f(

|kx+2|

x2+4

)≥f(1)
又当x≥0时，其导函数f'（x）＞0恒成立，
∴y=f（x）在区间[0，+∞）上为单调递增函数
∴

|kx+2|

x2+4

≥1?|kx+2|≥

x2+4

?(k2-1)x2+4kx≥0
①当k=0时，x∈{0}；
②当-1＜k＜0时，x(x-

4k

1-k2

)≤0?

4k

1-k2

≤x≤0，
∴x∈[

4k

1-k2

，0]；
③当0＜k＜1时，x(x-

4k

1-k2

)≤0?0≤x≤

4k

1-k2

，
∴x∈[0，

4k

1-k2

]
综上所述：当k=0时，x∈{0}；当-1＜k＜0时，x∈[

4k

1-k2

，0]；
当0＜k＜1时，x∈[0，

4k

1-k2

]．

点评：本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，利用导数研究函数的单调性，利用“凑”的方法处理抽象函数问题求值是解答本题的关键．