Question

如图2-6-1,已知⊙O₁与⊙O₂内切于点P,⊙O₂的弦AB切⊙O₁于点C,连结PA、PB,PC的延长线交⊙O₂于点D.

求证:PC²=PA·PB-AC·BC.

图2-6-1

Answer 1

思路分析:要证结论,考虑将左边化成右边形式,将PC变为PD-CD,则左边=PC(PD-CD)=PA·PB-AC·BC=右边,只需分别证明PC·PD=PA·PB和PC·CD=AC·BC即可.

证明：连结BD,过P作两圆的公切线PM,

∵AB是⊙O₁的切线,

∴∠ACP=∠MPC=∠DBP.

又∵∠A=∠D,∴△APC∽△DPB.

∴.∴PD·PC=PA·PB.

由相交弦定理,得PD·CD=AC·CB.

∴PD·PC-PC·CD=PA·PB-AC·BC,

PC(PD-CD)=PA·PB-AC·BC.

∴PC²=PA·PB-AC·BC.