Question

定义：项数为偶数的数列，若奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则称该数列为“对偶数列”．
（1）若项数为20项的“对偶数列”{a_n}，前4项为1，1，3，，求该数列的通项公式及20项的和；
（2）设项数为2m（m∈N^*）的“对偶数列”{a_n}前4项为1，1，3，，试求该数列前n（1≤n≤2m，n∈N^*）项的和S_n；
（3）求证：等差数列{a_n}（a_n≠0）为“对偶数列”当且仅当数列{a_n}为非零常数数列．

Answer 1

【答案】分析：（1）由条件得，a₁，a₃，…，a₁₉成等差数列，公差为2，a₁=1；a₂，a₄，…，a₂₀成等比数列，公比为，a₂=1，由此能求出该数列的通项公式及20项的和；
（2）1≤n≤2m，n∈N^*，当n为偶数时，．当n为奇数时，．
（3）设{a_n}为等差数列，公差为d．若{a_n}为“对偶数列”，则a₂，a₄，a₆，…成等比数列，由此{a_n}为非零常数列．若{a_n}为非零常数列，则a₁=a₂=a₃=a₄=…，满足“对偶数列”的条件，因此{a_n}为“对偶数列”．
解答：解：（1）由条件得，a₁，a₃，…，a₁₉成等差数列，公差为2，a₁=1；a₂，a₄，…，a₂₀成等比数列，公比为，a₂=1．∴
即

（2）1≤n≤2m，n∈N^*，
当n为偶数时，．
当n为奇数时，．
（3）设{a_n}为等差数列，公差为d．
若{a_n}为“对偶数列”，则a₂，a₄，a₆，…成等比数列，∴a₄²=a₂a₆，（a₁+3d）²=（a₁+d）（a₁+5d），得出d=0，
所以{a_n}为非零常数列．
若{a_n}为非零常数列，则a₁=a₂=a₃=a₄=…，满足“对偶数列”的条件，因此{a_n}为“对偶数列”．
点评：本题考查数列与函数的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．