Question

设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为A（0，2），右焦点F到点的距离为2．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设经过点（0，-3）的直线l与椭圆相交于不同两点M，N满足，试求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设出椭圆的标准方程，由右焦点F到点的距离为2列式求出c的值，结合b=2和求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出两交点M、N的坐标和，从而求出线段MN的中点P的坐标，由，知点A在线段MN的垂直平分线上，由两点式写出AP的斜率，利用MN和AP垂直，斜率之积等于-1求直线l的斜率，则方程可求．
解答：解：（Ⅰ） 依题意，设椭圆方程为，
则其右焦点坐标为，
由|FB|=2，得，
即，故．
又∵b=2，∴a²==12，
∴所求椭圆方程为．
（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为y=kx-3（k≠0），
由，知点A在线段MN的垂直平分线上，
由得x²+3（kx-3）²=12
即（1+3k²）x²-18kx+15=0①
△=（-18k）²-4（1+3k²）×15=144k²-60＞0
即时方程①有两个不相等的实数根
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点P（x，y）
则x₁，x₂是方程①的两个不等的实根，故有
从而有，
于是，可得线段MN的中点P的坐标为
又由于k≠0，因此直线AP的斜率为
由AP⊥MN，得
即5+6k²=9，解得，∴，
∴所求直线l的方程为：．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，运用了设而不求的解题思想，训练了两直线垂直的条件，是难题．