Question

已知四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AD=CD=

6

，∠BAC=60°，E为AC的中点；现将△ACD沿对角线AC折起，使点D在平面ABC上的射影H落在BC上．
（1）求证：AB⊥平面BCD；
（2）求三棱锥D-ABE的体积．

Answer 1

分析：（1）根据线面垂直的性质可知AB⊥DH，结合AB⊥BC，再根据线面垂直的判定定理，得到AB⊥平面BCD；
（2）利用三角形BCD作为底面，DH为高，不难用锥体体积公式求出三棱锥D-ABE的体积．

解答：解：（1）证明：∵∠B=90°
∴AB⊥BC
∵DH⊥平面ABC，AB?面ABC
∴AB⊥DH
而BC∩DH=H，BC，DH?面BCD
∴AB⊥面BCD         …（5分）
（2）∵AB⊥面BCD，CD?面BCD
∴AB⊥CD
又∵AD⊥CD，AB∩AD=A，AB，AD?面ABD
∴CD⊥面ABD，而BD?面ABD
∴CD⊥BD
∵CD=

6

，∴AC=

2

CD=2

3

∴BC=ACsin60°=2

3

×

3

2

=3
∴BD=

BC2-CD2

=

3

在Rt△BCD中，DH=

BD•CD

BC

=

2

       …（10分）
∵DH⊥面ABC，AE=

1

2

AC=

3

，AB=ACcos60°=

3

∴V_D-ABE=

1

3

S△ABE•DH=

1

3

×

1

2

AB•AE•sin60°•DH=

6

4

     …（12分）

点评：本题以平面翻折问题为例，证明了线面垂直并求几何体的体积，着重考查了线面垂直的判定与性质、点到平面距离的求法和锥体体积公式等知识，属于基础题．