题目内容
已知三次函数f（x）=
ax3+
bx2-6x+1（x∈R），a，b为实常数．
（1）若a=3，b=3时，求函数f（x）的极大、极小值；
（2）设函数g（x）=f′（x）+7，其中f′（x）是f（x）的导函数，若g（x）的导函数为g′（x），g′（0）＞0，g（x）与x轴有且仅有一个公共点，求
的最小值．
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
（1）若a=3，b=3时，求函数f（x）的极大、极小值；
（2）设函数g（x）=f′（x）+7，其中f′（x）是f（x）的导函数，若g（x）的导函数为g′（x），g′（0）＞0，g（x）与x轴有且仅有一个公共点，求
| g(1) |
| g′(0) |
分析：（1）当a=3，b=3时，得到f(x)=x3+
x2-6x+1，求其导函数，列表得到函数的单调区间，进而可得函数的极值；
（2）由函数g（x）求导，得到g'（0）=b，g（1）=a+b+1，再由g（x）与x轴有且仅有一个公共点，得到b2-4a=0，利用基本不等式，即可得到
的最小值．
| 3 |
| 2 |
（2）由函数g（x）求导，得到g'（0）=b，g（1）=a+b+1，再由g（x）与x轴有且仅有一个公共点，得到b2-4a=0，利用基本不等式，即可得到
| g(1) |
| g′(0) |
解答：解：（1）f(x)=x3+
x2-6x+1，∴f'（x）=3x2+3x-6=3（x-1）（x+2），
令f'（x）=0，∴x1=-2，x2=1，
f极大值=f（-2）=11，f极小值=f(1)=-
．
（2）由于g（x）=ax2+bx-6+7=ax2+bx+1（a≠0），
则g'（x）=2ax+b，g'（0）=b＞0，
又由g（x）与x轴有且仅有一个公共点，则b2-4a=0，
则
=
=
+1=
+1=
+
+1≥2
+1=2，
（当且仅当
=
，即b=2时，等号成立）
则(
)min=2．
| 3 |
| 2 |
令f'（x）=0，∴x1=-2，x2=1，
| x | （-∞，-2） | -2 | （-2，1） | 1 | （1，+∞） |
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
| 5 |
| 2 |
（2）由于g（x）=ax2+bx-6+7=ax2+bx+1（a≠0），
则g'（x）=2ax+b，g'（0）=b＞0，
又由g（x）与x轴有且仅有一个公共点，则b2-4a=0，
则
| g(1) |
| g′(0) |
| a+b+1 |
| b |
| a+1 |
| b |
| ||
| b |
| b |
| 4 |
| 1 |
| b |
|
（当且仅当
| b |
| 4 |
| 1 |
| b |
则(
| g(1) |
| g′(0) |
点评：本题考查利用导数研究函数极值，以及利用基本不等式求最值问题，属于中档题．
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