Question

过抛物线y²=4x的焦点F作直线m交抛物线于点A、B，则△AOB是

1. A.
   直角三角形
2. B.
   锐角三角形
3. C.
   钝角三角形
4. D.
   不确定

Answer 1

C
分析：①当直线l不垂直于x轴时，设方程为y=k（x-1），联立不平为线方程可得k²x²-x（2k²+4）+k²=0．即可利用韦达定理得到=（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²，
所以=-3＜0．②可得=-3＜0．由以上即可得到答案．
解答：①抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l不垂直于x轴时，设方程为y=k（x-1），代入y²=4x，
得k²x²-x（2k²+4）+k²=0．
设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
根据韦达定理，有x₁+x₂=，x₁x₂=1．
因为=（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²，
所以=-3＜0，
所以∠AOB为钝角，则△AOB是钝角三角形．
②当斜率不存在时，A（1，2），B（1，-2），所以可得=-3＜0，
所以∠AOB为钝角，则△AOB是钝角三角形．
故选C．
点评：本题主要考查了抛物线的方程与性质，在涉及直线与圆锥曲线问题时，设直线方程的时候一定要考虑到斜率不存在的情况；并且解决此类问题的方法一般是联立直线与圆锥曲线的方程借助于韦达定理解决问题，此类题目属于中档题型．