Question

如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（-2，0），直角顶点B(0，-2

2

)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点
（1）求BC边所在直线方程；
（2）M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；
（3）求过（-2，4）与圆相切的直线方程．

Answer 1

分析：（1）易知k_AB=-

2

因为AB⊥BC，从而求得k_CB=

2

2

，由点斜式求和直线BC的方程．
（2）由y=

2

2

x-2

2

．令令y=0，得C（4，0），求得AC的中点即圆心，再求得半径AM=3，可写出外接圆的方程．
（3）当斜率不存在时，切线方程为x=-2，验证符合题意，当斜率存在时，设出直线方程由圆心到直线的距离等于半径求解即可．

解答：解：（1）∵k_AB=-

2

，AB⊥BC，
∴k_CB=

2

2

，
∴直线BC：y=

2

2

x-2

2

．

（2）由y=

2

2

x-2

2

．令y=0，得：C（4，0），
∴圆心M（1，0），
又∵AM=3，
∴外接圆的方程为（x-1）²+y²=9．

（3）当斜率不存在时，切线方程为x=-2
当斜率存在时，设直线方程为y-4=k（x+2），
由d=

|k+2k+4|

k2+1

=3，
解得k=-

7

24

即切线方程为7x+24y-82=0

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及方程的应用，主要涉及了直线与直线垂直，直角三角形的外接圆的求法及圆的切线的求法，同时，涉及到直线的斜率时，要注意是否存在．