题目内容
15.已知向量$\vec a=(1,m),\vec b=(1,-3)$,且满足$(2\vec a+\vec b)⊥\vec b$(Ⅰ)求向量$\vec a$的坐标及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|;
(Ⅱ)求向量$\vec a$与$\vec b$的夹角.
分析 (Ⅰ)由向量的坐标运算和垂直关系可得m的值,进而可得$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的坐标,由模长公式可得;
(Ⅱ)由夹角公式可得向量夹角的余弦值,进而可得向量的夹角.
解答 解:(Ⅰ)由已知可得$\vec a=(1,m),\vec b=(1,-3)$,
∵$(2\vec a+\vec b)⊥\vec b$,∴(2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$)•$\overrightarrow{b}$=(3,2m-3)•(1,-3)=3+(2m-3)×(-3)=0,
解得m=2,∴$\overrightarrow{a}$=(1,2),$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=(2,-1)
∴$|{\vec a+\vec b}|=\sqrt{5}$;
(Ⅱ)设向量$\vec a$与$\vec b$的夹角为θ,
由夹角公式可得$cosθ=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|}=\frac{(1,2)•(1,-3)}{{\sqrt{1+{2^2}}\sqrt{1+{{(-3)}^2}}}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,
∵0≤θ≤π,∴向量$\vec a$与$\vec b$的夹角$θ=\frac{3π}{4}$
点评 本题考查数量积和向量的夹角,涉及向量的模长公式,属基础题.
练习册系列答案
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