题目内容
10.已知直线l经过点P(3,4).(1)若直线l的倾斜角为θ(θ≠90°),且直线l经过另外一点(cosθ,sinθ),求此时直线的方程;
(2)若直线l与两坐标轴围成等腰直角三角形,求直线l的方程.
分析 (1)利用直线上两点以及直线倾斜角表示直线斜率,得到关于θ的等式,求出tanθ.
(2)由题意知,直线l的斜率必存在,且不为零,则设l:y-4=k(x-3),由直线l与两坐标轴围成等腰直角三角形,由此得到直线在x,y轴上的截距的绝对值相等,得到关于斜率k的方程求出斜率.
解答 解:(1)直线l的斜率为k=tanθ=$\frac{4-sinθ}{3-cosθ}$,…(2分)
解得4cosθ=3sinθ,即tan$θ=\frac{4}{3}$…(4分)
所以直线l的斜率为$\frac{4}{3}$,直线l的方程为y=$\frac{4}{3}x$;…(6分)
(2)由题意知,直线l的斜率必存在,且不为零,则设l:y-4=k(x-3),…(7分)
分别令x,y等于零得到x轴上的截距为$-\frac{4}{k}+3$,y轴上的截距为-3k+4,…(8分)
由|$-\frac{4}{k}$+3|=|-3k+4|,
得-$\frac{4}{k}$+3=-3k+4,解得k=-1,或k=$\frac{4}{3}$;…(10分)
或者-$\frac{4}{k}$+3=3k-4,解得k=1或k=$\frac{4}{3}$;…(12分)
经检验k=$\frac{4}{3}$不合题意,舍去.…(13分)
综上:k的值为±1,直线l的方程为:y=x+1或y=-x+7.…(14分).
点评 本题考查了直线的斜率以及直线在坐标轴上的截距.考查了讨论的思想.
练习册系列答案
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