Question

已知函数f（x）=（1+a）^|x|（a＞-1，a∈R）．
（1）若f（x）在（0，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）当a=-

1

2

时，记a_n=n•f（n），数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：

1

2

≤Sn＜2；
（3）当a=2且x∈[m，n]，f（x）∈[1，9]时，探求

m2+n2-2m

n+1

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）=（1+a）^x为增函数，则1+a＞1，从而求出a的范围；
（2）当a=-

1

2

时，an=n•(

1

2

)n，然后利用错位相消法求出S_n，再根据{S_n}递增，即可求出S_n的范围；
（3）当a=2时，f（x）=3^|x|为偶函数，其图象关于y轴对称，由x∈[m，n]，f（x）∈[1，9]及图象可得：

m=-2 n∈[0，2]

或

n=2 m∈[-2，0]

，然后分别在两种情况下利用基本不等式和二次函数求出取值范围即可．

解答：解：（1）当x∈（0，+∞）时，f（x）=（1+a）^x为增函数，⇒1+a＞1⇒a＞0--------------（3分）
（2）当a=-

1

2

时，an=n•(

1

2

)n--------------（4分）
Sn=(

1

2

)+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n

1

2

•Sn=(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n+1，错位相减可得：Sn=2-(2+n)•(

1

2

)n-----（8分）
显然Sn=2-(2+n)•(

1

2

)n＜2------------（9分）
又，n≥2时，Sn-Sn-1=an=n•(

1

2

)n＞0，所以，{S_n}递增，Sn≥S1=

1

2

综上，

1

2

≤Sn＜2------------（10分）
（3）当a=2时，f（x）=3^|x|为偶函数，其图象关于y轴对称．
由x∈[m，n]，f（x）∈[1，9]及图象可得：

m=-2 n∈[0，2]

或

n=2 m∈[-2，0]

若

m=-2 n∈[0，2]

，则

m2+n2-2m

n+1

=

n2+8

n+1

，令n+1=t∈[1，3]，
所以

m2+n2-2m

n+1

=t+

9

t

-2∈[4，8]-------------（14分）
若

n=2 m∈[-2，0]

，则

m2+n2-2m

n+1

=

1

3

(m2-2m+4)=

1

3

(m-1)2+1∈[

4

3

，4]-------------（18分）

点评：本题主要考查了数列与函数的综合应用，同时考查了利用基本不等式和二次函数研究函数的最值，属于中档题．