题目内容

已知点 P 在双曲线 $数学公式$ 上，并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是________．

$\text{[math]}$
分析：先确定P在双曲线的左支上，利用双曲线的定义及P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，求出点P到右准线l的距离，从而可求P的横坐标．
解答：记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a、b、c，离心率为e，点P到右准线l的距离为d，则a=4，b=3，c=5，
∴e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，右准线l为 $\text{[math]}$ ．
如果P在双曲线右支，则|PF₁|=|PF₂|+2a=ed+2a．
从而，|PF₁|+|PF₂|=（ed+2a）+ed=2ed+2a＞2d，这不可能；
故P在双曲线的左支，则|PF₂|-|PF₁|=2a，|PF₁|+|PF₂|=2d．
两式相加得2|PF₂|=2a+2d．
又|PF₂|=ed，从而ed=a+d．
故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =16．
因此，P的横坐标为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查双曲线的定义，考查等差数列知识，考查学生分析、计算的能力，正确运用双曲线的定义是关键．