Question

已知函数f（x）=2^x+a的反函数是y=f^-1（x）．设P（x+a，y₁），Q（x，y₂），R（2+a，y₃）是y=f^-1（x）图象上不同的三点．
（1）如果存在正实数x，使y₁、y₂、y₃成等差数列，试用x表示实数a；
（2）在（1）的条件下，如果实数x是唯一的，试求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）f^-1（x）=log₂（x-a），（x＞a），y₁=log₂a，y₂=log₂（x-a），
y₃=log₂2=1由题意，2log₂（x-a）=log₂x+1
（2）由题意：关于x的方程（x-a）²=2x即x²-2（a+1）x+a²=0在（a，+∞）上有唯一解．
1⁰，当判别式△=0时，，这时方程有唯一解满足条件；
2⁰，当判别式△＞0时，方程的一个根大于a，
另一根小于a（不可能出现一根等于a的情形），
记g（x）=x²-2（a+1）x+a²，只需g（a）＜0即可，得a＞0．
解得：
分析：（1）从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式：f^-1（x）=log₂（x-a），（x＞a），分别写了y₁，y₂，y₃，由题意y₁、y₂、y₃成等差数列即可表示出a；
（2）由题意：关于x的方程（x-a）²=2x即x²-2（a+1）x+a²=0在（a，+∞）上有唯一解．下面对根的判别式进行分类讨论：1⁰，当判别式△=0时，2⁰，当判别式△＞0时，利用二次函数的图象与性质即可求出实数a的取值范围．
点评：本小题主要考查反函数、等差数列的性质、一元二次方程的根的分布与系数的关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．