题目内容
(2012•浙江模拟)关于x的方程2cos2x-sinx+a=0在区间[0,
]上恰好有两个不等实根,则实数a的取值范围是
7π |
6 |
(-
,-2)∪(-2,1)
17 |
8 |
(-
,-2)∪(-2,1)
.17 |
8 |
分析:令t=sinx,当x∈[π,
]时,x与t一一对应,由题意可得直线y=a和曲线y=2t2+t-2在[-
,1]上有两个交点,由此求得a的范围. 当x∈(0,π),且x≠
时,有2个x与一个t值对应,直线y=a和曲线y=2t2+t-2在[-
,1)上有一个交点,结合图象求出实数a的取值范围. 再把以上2个a的取值范围取并集,即得所求.
7π |
6 |
1 |
2 |
π |
2 |
1 |
2 |
解答:解:由题意,方程可变为a=-2cos2x+sinx,令t=sinx,
由0<x≤
,可得 t∈[-
,1].
①当x∈[π,
]时,t∈[-
,0],此时,x与t一一对应.
由题意可得,关于t的方程a=2t2+t-2,当t∈[-
,0]应有2个实数根,
即直线y=a和函数y=2t2+t-2,当t∈[-
,0]应有2个交点.
当t=-
时,y=2t2+t-2有最小值-
. 当t=-
或0时,a=2t2+t-2=-2.
此时,应有 a∈(-
,-2].
但当a=-2时,t=-
或0,在区间[0,
]上,对应x=0 或π或
,
关于x的方程2cos2x-sinx+a=0在区间[0,
]上有3个实数根,
故不满足条件,应舍去,故 a∈(-
,-2).
②当x∈(0,π),且x≠
时,有2个x与一个t值对应.
故由题意可得,关于t的方程a=2t2+t-2,当t∈(0,1)有一个实数根,
即直线y=a和曲线y=2t2+t-2在(0,1)上有一个交点,如图所示:
此时,a∈(-2,1).
综上可得,实数a的取值范围是 (-
,-2)∪(-2,1),
故答案为 (-
,-2)∪(-2,1).
由0<x≤
7π |
6 |
1 |
2 |
①当x∈[π,
7π |
6 |
1 |
2 |
由题意可得,关于t的方程a=2t2+t-2,当t∈[-
1 |
2 |
即直线y=a和函数y=2t2+t-2,当t∈[-
1 |
2 |
当t=-
1 |
4 |
17 |
8 |
1 |
2 |
此时,应有 a∈(-
17 |
8 |
但当a=-2时,t=-
1 |
2 |
7π |
6 |
7π |
6 |
关于x的方程2cos2x-sinx+a=0在区间[0,
7π |
6 |
故不满足条件,应舍去,故 a∈(-
17 |
8 |
②当x∈(0,π),且x≠
π |
2 |
故由题意可得,关于t的方程a=2t2+t-2,当t∈(0,1)有一个实数根,
即直线y=a和曲线y=2t2+t-2在(0,1)上有一个交点,如图所示:
此时,a∈(-2,1).
综上可得,实数a的取值范围是 (-
17 |
8 |
故答案为 (-
17 |
8 |
点评:本题的考点是复合函数的单调性,考查根据复合三角函数的单调性求值域,本题求参数范围的题转化为求函数的值域是解此类题的常用技巧,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目