题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的离心率为 $数学公式$ ，且经过点 $数学公式$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+t（k≠0）交椭圆C于A、B两点，D为AB的中点，k_OD为直线OD的斜率，求证：k•k_OD为定值；
（3）在（2）条件下，当t=1时，若 $数学公式$ 的夹角为锐角，试求k的取值范围．

解：（1）根据题意有： $\text{[math]}$
解得： $\text{[math]}$
∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ =1
（2）联立方程组 $\text{[math]}$
消去y得：（4+k²）x²+2kx+t²-4=0①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点坐标为（x₀，y₀）
则有： $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ 为定值
（3）当t=1时，①式为（4+k²）x²+2kx-3=0
故 $\text{[math]}$
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
∴ $\text{[math]}$
若 $\text{[math]}$ 的夹角为锐角，则有 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，且k≠0，
∴当k∈ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的夹角为锐角
分析：（1）根据离心率求得n和m的关系式，同时把点P代入椭圆方程求得n和m的另一关系式，联立求得n和m，则椭圆的方程可得．
（2）把直线与椭圆方程联立消去y，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而表示出AB中点的坐标，最后分别表示出两条直线的斜率，求得k•k_OD为定值
（3）把t=1代入（2）中的方程，根据x₁+x₂和x₁x₂的表达式，求得x₁x₂+y₁y₂的表达式，若 $\text{[math]}$ 的夹角为锐角，则有 $\text{[math]}$ 进而求得k的范围．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．