Question

某三次函数当x=1时有极大值4，当x=3时有极小值0，且函数图象过原点，则此函数为（　　）

A．y=x³+6x²+9x

B．y=x³-6x²-9x

C．y=x³-6x²+9x

D．y=x³+6x²-9x

Answer 1

分析：设三次函数为y=ax³+bx²+cx+d，因为过原点，所以常数项为d=0，y'=3ax²+2bx+c，根据该函数当x=1时有极大值4，当x=3时，有极小值0，可得

1+3=- 2b 3a 1×3= c 3a a+b+c=4

，从而可求a=1，b=-6，c=9，故可得三次函数．

解答：解：设三次函数为y=ax³+bx²+cx+d
因为过原点，所以常数项为d=0
∴y=ax³+bx²+cx
∴y'=3ax²+2bx+c
由于该函数当x=1时有极大值4，当x=3时，有极小值0，
所以3ax²+2bx+c=0有两个实根1和3
∴

1+3=- 2b 3a 1×3= c 3a a+b+c=4

∴a=1，b=-6，c=9
所以三次函数为y=x³-6x²+9x
故选C．

点评：本题以函数的性质为载体，考查函数解析式的求解，解题的关键是正确运用导数，合理建立方程组．