题目内容
（2012•安徽模拟）已知椭圆C：
+y2=1(a＞0)的右顶点为A，上顶点为B，直线y=t与椭圆交于不同的两点E，F，若D（x，y）是以EF为直径的圆上的点，当t变化时，D点的纵坐标y的最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点(0，
)且斜率k为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，是否存在k，使得向量
+
与
共线？若存在，试求出k的值；若不存在，请说明理由．
| x2 |
| a2 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点(0，
| 2 |
| OP |
| OQ |
| AB |
分析：（1）由
，得x2=a2（1-t2），-1＜t＜1，故r=
=a
，圆心为（0，t），由此能求出椭圆C的方程．
（2）l：y=kx+
，由
，得(1+3k2)x2+6
kx+3=0，△=72k2-12(1+3k2)＞0⇒|k|＞
，设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点M(
，y0)．由此能够推导出不存在k，使得向量
+
与
共线．
|
| |EF| |
| 2 |
| 1-t2 |
（2）l：y=kx+
| 2 |
|
| 2 |
| ||
| 3 |
| x | 0 |
| OP |
| OQ |
| AB |
解答：解：（1）由
，得x2=a2（1-t2），-1＜t＜1，
∴r=
=a
，圆心为（0，t），
以EF为直径的圆的方程为：x2+（y-t）2=a2（1-t2）⇒y≤t+a
（当x=0时取等）
令t=cosθ（θ∈（0，π））⇒y≤cosθ+asinθ=
sin(θ+?)，
依题
=2⇒a2=3，
椭圆C的方程为：
+y2=1．（6分）
（2）l：y=kx+
，
由
，
消去y：(1+3k2)x2+6
kx+3=0△=72k2-12(1+3k2)＞0⇒|k|＞
，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点M(
，y0)．
由点差法：x12-x22=-3(y12-y22)⇒
=
，
即k=
⇒x0=-3ky0①
M在直线l上⇒y0=kx0+
②
又A(
，0)，B(0，1)⇒
=(-
，1)，
而
+
与
共线，可得
∥
⇒x0=-
y0，③，
由①②③得k=
，（12分）
这与|k|＞
矛盾，故不存在k，使得向量
+
与
共线．（13分）
|
∴r=
| |EF| |
| 2 |
| 1-t2 |
以EF为直径的圆的方程为：x2+（y-t）2=a2（1-t2）⇒y≤t+a
| 1-t2 |
令t=cosθ（θ∈（0，π））⇒y≤cosθ+asinθ=
| a2+1 |
依题
| a2+1 |
椭圆C的方程为：
| x2 |
| 3 |
（2）l：y=kx+
| 2 |
由
|
消去y：(1+3k2)x2+6
| 2 |
| ||
| 3 |
设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点M(
| x | 0 |
由点差法：x12-x22=-3(y12-y22)⇒
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| x1+x2 |
| -3(y1+y2) |
即k=
| x0 |
| -3y0 |
M在直线l上⇒y0=kx0+
| 2 |
又A(
| 3 |
| AB |
| 3 |
而
| OP |
| OQ |
| AB |
| OM |
| AB |
| 3 |
由①②③得k=
| ||
| 3 |
这与|k|＞
| ||
| 3 |
| OP |
| OQ |
| AB |
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
练习册系列答案
相关题目