题目内容
已知:如图,在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1B上的点,A1M=
A1B,N是B1D1上的点,B1N=
B1D1.
求证:(I)MN是异面直线A1B与B1D1的公垂线;
(II)求线段MN的长.
1 |
3 |
1 |
3 |
求证:(I)MN是异面直线A1B与B1D1的公垂线;
(II)求线段MN的长.
分析:(1)建立如图所示空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,推出A1,B1,D1,B,M,N的坐标,求出
•
=0,
•
=0,即可证明MN是异面直线A1B与B1D1的公垂线;
(2)求出
,再求出它的模,得出它的长度即可.
MN |
A1B |
MN |
B1D1 |
(2)求出
MN |
解答:(1)证明:建立如图所示空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,
则A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),B(1,0,0),
∵A1M=
A1B,B1N=
B1D1,
∴M(
,0,
),N(
,
,1)
∴
=(1,0,-1),
=(-1,1,0),
=(
,
,
),
•
=(1,0,-1)• (
,
,
)=
×1+0×
-1×
=0,
•
=(-1,1,0)• (
,
,
)=-1×
+1×
+0×
=0
∴MN⊥A1B,MN⊥B1D1,又MN与A1B和B1D1都相交
故MN是异面直线A1B与B1D1的公垂线.…10分
(2)解:因为
=(
,
,
),
所以|MN|=
=
∴MN的长为
…12分.
则A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),B(1,0,0),
∵A1M=
1 |
3 |
1 |
3 |
∴M(
1 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
1 |
3 |
∴
A1B |
B1D1 |
MN |
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1 |
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MN |
A1B |
1 |
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1 |
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1 |
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MN |
B1D1 |
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∴MN⊥A1B,MN⊥B1D1,又MN与A1B和B1D1都相交
故MN是异面直线A1B与B1D1的公垂线.…10分
(2)解:因为
MN |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
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所以|MN|=
(
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| ||
3 |
∴MN的长为
| ||
3 |
点评:本题是中档题,考查异面直线的公垂线的证明方法,线段长度的求法,考查空间想象能力,计算能力.
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