题目内容

已知:如图,在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1B上的点,A1M=
1
3
A1B
,N是B1D1上的点,B1N=
1
3
B1D1

求证:(I)MN是异面直线A1B与B1D1的公垂线;
      (II)求线段MN的长.
分析:(1)建立如图所示空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,推出A1,B1,D1,B,M,N的坐标,求出
MN
A1B
=0,
MN
B1D1
=0,即可证明MN是异面直线A1B与B1D1的公垂线;
(2)求出
MN
,再求出它的模,得出它的长度即可.
解答:(1)证明:建立如图所示空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,
则A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),B(1,0,0),
∵A1M=
1
3
A1B,B1N=
1
3
B1D1
∴M(
1
3
,0,
2
3
),N(
2
3
1
3
,1)
A1B
=(1,0,-1)
B1D1
=(-1,1,0),
MN
=(
1
3
1
3
1
3
)

MN
A1B
=(1,0,-1)• (
1
3
1
3
1
3
)
=
1
3
×1+0×
1
3
-1×
1
3
=0,
MN
B1D1
=(-1,1,0)• (
1
3
1
3
1
3
)
=-1×
1
3
+1×
1
3
+0×
1
3
=0
∴MN⊥A1B,MN⊥B1D1,又MN与A1B和B1D1都相交
故MN是异面直线A1B与B1D1的公垂线.…10分
(2)解:因为
MN
=(
1
3
1
3
1
3
)

所以|MN|=
(
1
3
)
2
+(
1
3
)
2
+(
1
3
)
2
=
3
3

∴MN的长为
3
3
…12分.
点评:本题是中档题,考查异面直线的公垂线的证明方法,线段长度的求法,考查空间想象能力,计算能力.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网