Question

已知(x2+

a

x

)6展开式中常数项为240，其中a是小于零的常数，则展开式中各项的系数之和是

 

．

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中x的指数为0求出r的值，将r的值代入通项求出展开式的常数项，列出方程求出a的值，将a的值代入二项式中，令二项式中的x=1求出展开式中各项的系数之和．

解答：解：(x2+

a

x

)6展开式的通项为T_r+1=a^rC₆^rx^12-3r
令12-3r=0得r=4
∴展开式的常数项为a⁴C₆⁴=15a⁴
∴15a⁴=240
∵a是小于零的常数
∴a=-2
∴(x2+

a

x

)6=(x2-

2

x

)6
令二项式中的x=1得到展开式中各项的系数之和是1
故答案为：1

点评：解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式；求二项展开式的系数和问题，一般通过观察给二项式中的未知数赋值．