Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为棱DD₁，AB上的点．已知下列判断：
①A₁C⊥平面B₁EF；
②△B₁EF在侧面BCC₁B₁上的正投影是面积为定值的三角形；
③在平面A₁B₁C₁D₁内总存在与平面B₁EF平行的直线．
其中正确结论的序号为

②③

（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

分析：①找出A₁C所垂直的平面的位置，进而可知EF为其它位置时不垂直；
②先作出其正投影，即可判断出结论；
③利用线面、面面平行的判定和性质定理即可得出．

解答：解：①知道当点E与D₁重合、点F与A重合时，A₁C⊥平面AB₁D₁（即平面B₁EF），而EF为其它位置时不垂直，故不正确；
②如图所示，EF在侧面BCC₁B₁上的正投影为BE₁，则△BB₁E₁的面积=

1

2

S正方形BCC1B1，为定值，因此正确；
③如图2所示，在边B₁B上取B₁M=D₁E，连接EM；在平面ABB₁A₁内作MN∥AB交B₁F于N点，连接EN，则EN∥平面A₁B₁C₁D₁．
综上可知：只有②③正确．
故答案为②③．

点评：熟练掌握线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理及正投影是解题的关键．