Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，前 n 项和为S_n，且点（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上．计算

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

S99

．

Answer 1

分析：由点（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，可得a_n+1=a_n+1，又a₁=1，可判断{a_n}是首项和公差均为1的等差数列，从而求得
其前 n 项和为S_n=

n(n+1)

2

，于是可用裂项法求得

1

Sn

=2（

1

n

-

1

n+1

），从而可求得答案．

解答：解：∵a₁=1，点（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，
∴a_n-a_n+1+1=0，
∴a_n+1-a_n=1，…（3分）
∴{a_n}是等差数列，首项和公差均为1，
∴a_n=1+（ n-1）=n．…（6分）
∴S_n=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，…（8分）
∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

）…（10分）
∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

S99

=2（1-

1

2

）+2（

1

2

-

1

3

）+2（

1

3

-

1

4

）+…+2（

1

99

-

1

100

）
=2（1-

1

100

）=

99

50

．…（14分）

点评：本题考查数列的求和，关键在于判断出数列{a_n}为等差数列，求得前 n 项和S_n，再用裂项法求

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

S99

，属于中档题．