题目内容

若函数f（x）对于任意的两个不相等的实数x1，x2∈A都有0＜
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜1成立，则称f（x）在区间A上为“0-1函数”．则下列函数在定义域上为“0-1函数”的有
 
（请填写相应的序号）．
（1）y=sinx，x∈[-
π
2
，
π
2
]；
（2）y=lnx，x＞1；
（3）y=ex，x∈R；
（4）y=x2+2x+3，0＜x＜1．
分析：根据定义可知满足有0＜
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＜1成立的函数的割线斜率k∈（0，1），即可．
解答：解：（1）若y=sinx，x∈[-
π
2
，
π
2
]，则y'=cosx∈[0，1]，不满足条件，∴不是[0，1]上的“0-1函数”．
（2）若y=lnx，x＞1，则y'=
1
x
，∵x＞1，∴y'=
1
x
∈（0，1），满足条件，是区间（1，+∞）上的“0-1函数”．
（3）若y=ex，x∈R，则y'=ex＞0，条件不满足，∴不是R“0-1函数”．
（4）若y=x2+2x+3，0＜x＜1．则y'=2x+2∈（2，4），不满足条件，∴不是（0，1）上的“0-1函数”．
故答案为：（2）
点评：本题主要考查函数的新定义，实质是割线的斜率，利用导数的几何意义即可得到结论．
练习册系列答案
相关题目
对于函数f（x），其定义域为D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）为定义域上的凸函数．
（1）设f（x）=ax2（a＞0），试判断f（x）是否为其定义域上的凸函数，并说明原因；
（2）若函数f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）为其定义域上的凸函数，试求出实数a的取值范围．
下列说法中，正确的是（　　）
①对于定义域为R的函数f（x），若函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），则函数f（x）的图象关于x=1对称；
②当a＞1时，任取x∈R都有ax＞a-x；
③“a=1”是“函数f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上单调递增”的充分必要条件；
④设a∈{-1，1，
1
2
，3}，则使函数y=xa的定义域为R且该函数为奇函数的所有a的值为1，3；
⑤已知a是函数f（x）=2x-log0.5x的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）＜0．
对于函数f（x），其定义域为D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）为定义域上的凸函数．
（1）设f（x）=ax2（a＞0），试判断f（x）是否为其定义域上的凸函数，并说明原因；
（2）若函数f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）为其定义域上的凸函数，试求出实数a的取值范围．
下列说法中，正确的是（ ）
①对于定义域为R的函数f（x），若函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），则函数f（x）的图象关于x=1对称；
②当a＞1时，任取x∈R都有ax＞a-x；
③“a=1”是“函数f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上单调递增”的充分必要条件；
④设a∈{-1，1，，3}，则使函数y=xa的定义域为R且该函数为奇函数的所有a的值为1，3；
⑤已知a是函数f（x）=2x-log0.5x的零点，若0＜x＜a，则f（x）＜0．
A．①④
B．①④⑤
C．②③④
D．①⑤
对于函数f（x），其定义域为D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（）＞[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）为定义域上的凸函数．
（1）设f（x）=ax2（a＞0），试判断f（x）是否为其定义域上的凸函数，并说明原因；
（2）若函数f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）为其定义域上的凸函数，试求出实数a的取值范围．

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