题目内容

已知定义在R上函数f（x）是偶函数，对x∈R都有f（2+x）=-f（2-x），当f（-3）=-2 时，f （2007）的值为（　　）
分析：由题意：f（2+x）=-f（2-x）”可得f（x）=-f（4-x），由函数f（x）是偶函数可得f（x）=f（-x），结合两者得f（x-4）=-f（x），它是以8为周期的周期函数，
f（2007）=f（-1）=f（1），从而解决问题．
解答：解：∵f（2+x）=-f（2-x），
令t=2+x，则2-x=4-t
∴f（x）=-f（4-x），
∵由函数f（x）是偶函数
∴f（x）=f（-x），
∴结合两者得f（x-4）=-f（x），f（x-8）=f[（x-4）-4]=-f（x-4）=f（x），
它是周期函数，且周期为8，
∴f（2007）=f（250×8+7）=f（7）=f（-1）=f（1）
在f（2+x）=-f（2-x）中，令x=1，得f（3）=-f（1）=-2，
∴f（1）=2，即f（2007）=2
故选A．
点评：本题考查抽象函数的周期性、函数值求解，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．
练习册系列答案
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已知定义在R上函数f(x)=
b-2x
a+2x+1
是奇函数．
（1）对于任意t∈R不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围．
（2）若对于任意实数，m，x，f(x)＜m2+2tm+t+
5
2
恒成立，求t的取值范围．
（3）若g（x）是定义在R上周期为2的奇函数，且当x∈（-1，1）时，g（x）=f（x）-x，求g（x）=0的所有解．
已知定义在R上函数f（x）部分自变量与函数值对应关系如表，若f（x）为偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，不等式-1≤f（x）＜3的解集是（　　）
x 0 2 3 4
y -1 1 2 3
有下列几个命题：
①函数y=
1
x+1
在（-∞，-1）∪（-1，+∞）上是减函数；
②已知f（x）在R上是增函数，若a+b＞0，则有f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）；
③已知函数y=f（x）是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x(1+
3x
)，则当x＜0时，f(x)=-x(1-
3x
)；
④已知定义在R上函数f（x）满足对?x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，则f（x）是R上的增函数；⑤如果a＞1，则函数f（x）=ax-x-a（a＞0且a≠1）有两个零点．
其中正确命题的序号是
 
．（写出全部正确结论的序号）
已知定义在R上函数f（x）是奇函数，对x∈R都有f（2+x）=-f（2-x），则f（2012）=（　　）

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