Question

已知椭圆：的左焦点为，右焦点为．

（Ⅰ）设直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P，线段的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹的方程；

（Ⅱ）设为坐标原点，取曲线上不同于的点，以为直径作圆与相交另外一点，求该圆的面积最小时点的坐标．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 利用抛物线的定义“到定点的距离等于到定直线的距离”来求；(Ⅱ) 直线与抛物线相交，联立消元，设点代入化简，利用基本不等式求最值.

试题解析：（I）在线段的垂直平分线上，∴| MP | = | M |

故动点M到定直线的距离等于它到定点的距离

因此动点M的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，      

所以点M的轨迹的方程为        

(II)因为以OS为直径的圆与相交于点R，

所以，即

设，，则

，，，

所以，即

∵，，∴     

 故，当且仅当，即时等号成立

当时，，圆的直径，

这时点S的坐标为．

考点：抛物线的定义，向量的坐标运算，基本不等式，坐标表示等，考查了学生的综合化简计算能力.