Question

底面ABCD为矩形的四棱锥P-ABCD中，，BC=1，PA=2，侧棱PA⊥底面ABCD，E为PD的中点
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出点N到AB和AP的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）以A为原点，建立空间直角坐标系如图所示，可得B、C、D、P、E各点坐标，从而得到向量的坐标，利用空间向量的夹角公式即可算出AC与PB所成角的余弦值；
（2）根据N点在侧面PAB内，设N点坐标为（x，0，z），利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出x=且z=1，得N，即可得到侧面PAB内存在点N，使NE⊥面PAC，并可给出N点到AB和AP的距离．
解答：解：（1）以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图所示
可得、、D（0，1，0）、
P（0，0，2）、，
从而．
设的夹角为θ，则
，
∴AC与PB所成角的余弦值为
（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，0，z），
则，
由NE⊥面PAC可得，，即
化简得，即，可得N点的坐标为，
从而侧面PAB内存在点N，使NE⊥面PAC，N点到AB和AP的距离分别为．
点评：本题在特殊的四棱锥中求异面直线所成角的余弦值，并探索侧面PAB内满足NE⊥面PAC的点P位置，着重考查了空间向量的夹角公式、平面法向量的求法和利用空间向量研究空间位置关系等知识，属于中档题．