Question

函数f（x）=ln（1+2^x+a•4^x）的定义域为（-∞，1]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：利用函数的定义域，得到真数大于0恒成立问题．然后利用指数函数的性质求解a．

解答：解：f（x）=ln（1+2^x+a•4^x）的定义域为（-∞，1]，则x≤1时函数
g（x）=1+2^x+a•4^x＞0恒成立，所以a＞-(

1

4

)x-(

1

2

)x；
函数y=-(

1

4

)x-(

1

2

)x=-[(

1

2

)x+

1

2

]2+

1

4

，设t=(

1

2

)x，则t≥

1

2

，此时函数y=-(t+

1

2

)2+

1

4

在t≥

1

2

，上单调递减，
所以y≤-(

1

2

+

1

2

)2+

1

4

=-

3

4

，此时x=1．
所以a＞-

3

4

．
实数a的取值范围(-

3

4

，+∞)．

点评：本题主要考查函数定义域的应用以及对数函数的性质，将定义域转化为不等式恒成立是基本本题的关键．