Question

已知A，B，C，D四点的坐标分别为A（-1，0），B（1，0），C（0，1），D（2，0），P是线段CD上的任意一点，则

AP

•

BP

的最小值是

-

1

5

．

Answer 1

分析：由题意可得：线段CD的方程为：x+2y-2=0，设点p（a，b），则b=1-

1

2

a，并且a∈[0，2]，结合题意可得：

AP

=（a+1，b），

BP

=（a-1，b），所以

AP

•

BP

=

5

4

a2-a，a∈[0，2]，再由二次函数的性质可得答案．

解答：解：因为C（0，1），D（2，0），
所以线段CD的方程为：x+2y-2=0，
设点p（a，b），则b=1-

1

2

a，并且a∈[0，2]，
因为A（-1，0），B（1，0），
所以

AP

=（a+1，b），

BP

=（a-1，b），
所以

AP

•

BP

=a²-1+b²=a2-1+(1-

1

2

a)2=

5

4

a2-a，a∈[0，2]
所以由二次函数的性质可得：当a=

2

5

时

AP

•

BP

由最小值-

1

5

．
故答案为：-

1

5

．

点评：本题主要考查向量的数量积运算，以及二次函数定区间上求最值问题，此题属于中档题．