题目内容
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1）离心率e=
，短轴长为8
．
（2）焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P（0，-10），P到它较近的一个焦点的距离等于2．
（1）离心率e=
| 2 |
| 3 |
| 5 |
（2）焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P（0，-10），P到它较近的一个焦点的距离等于2．
分析：（1）由题意可得
，解方程组即可求得a，b；
（2）可设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：
+
=1（a＞b＞0），结合题意即可求得a，b的值．
|
（2）可设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程为：
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
解答：解：（1）由
⇒
，
∴椭圆的方程为：
+
=1或
+
=1．
（2）∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为：
+
=1（a＞b＞0），
∵P（0，-10）在椭圆上，
∴a=10．
又∵P到它较近的一焦点的距离等于2，
∴-c-（-10）=2，故c=8．
∴b2=a2-c2=36．
∴所求椭圆的标准方程是
+
=1．
|
|
∴椭圆的方程为：
| x2 |
| 144 |
| y2 |
| 80 |
| y2 |
| 144 |
| x2 |
| 80 |
（2）∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为：
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
∵P（0，-10）在椭圆上，
∴a=10．
又∵P到它较近的一焦点的距离等于2，
∴-c-（-10）=2，故c=8．
∴b2=a2-c2=36．
∴所求椭圆的标准方程是
| y2 |
| 100 |
| x2 |
| 36 |
点评：本题考查椭圆的标准方程及椭圆的简单性质，在焦点位置不确定时需分类讨论，考查分析与计算的能力，属于中档题．
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