Question

（2012•德阳三模）定义在R上的奇函数f（x）=ax³+b-2的反函数的图象过点（3，1），则

lim

n→∞

an+bn

an-bn

=

1

．

Answer 1

分析：根据函数与反函数的关系可得，函数f（x）=ax³+b-2 的图象过点（1，3），化简得 a+b=5．再由奇函数的性质可得f（0）=0，b-2=0，从而求得a=3，b=2，把要求的
式子化为

lim

n→∞

1+( 2 3 )n

1-( 2 3 )n

，利用极限的运算法则求得结果．

解答：解：∵定义在R上的奇函数f（x）=ax³+b-2的反函数的图象过点（3，1），
∴函数f（x）=ax³+b-2 的图象过点（1，3）．
∴a+b-2=3，
∴a+b=5．
再由 f（x）=ax³+b-2是奇函数，可得 f（0）=0，
∴b-2=0．
综上可得  a=3，b=2．
∴

lim

n→∞

an+bn

an-bn

=

lim

n→∞

1+( b a )n

1-( b a )n

=

lim

n→∞

1+( 2 3 )n

1-( 2 3 )n

=

1+0

1-0

=1，
故答案为 1．

点评：本题主要考查函数与反函数的关系，利用了若反函数的图象过点（a，b），则原函数的图象过点（b，a），极限的运算法则的应用，属于基础题．