Question

（2012•武昌区模拟）已知平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=2，矩形ABCD的边长AB=DC=2，AD=BC=2

2

．
（Ⅰ）证明：直线AD∥平面PBC；
（Ⅱ）求直线PC和底面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）矩形ABCD中，根据AD∥BC，结合直线与平面平行的判定定理，可得直线AD∥平面PBC；
（II）由面面垂直的判定定理，证出PE⊥平面ABCD且CD⊥平面PAD，可得∠PCE就是直线PC和底面ABCD所成的角，且CD⊥PD．在Rt△PCE中，算出PE、PC的长，从而得到sin∠PCE=

1

2

，得∠PCE=30°，得到直线PC和底面ABCD所成角的大小．

解答：解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，…（2分）
又∵BC⊆平面PBC，AD?平面PBC
∴直线直线AD∥平面PBC；…（5分）
（Ⅱ）过点P作PE⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PE⊥平面ABCD，同理可得CD⊥平面PAD；…（8分）
所以，直线EC是直线PC在平面ABCD内的射影
∠PCE就是直线PC和底面ABCD所成的角，
∵CD⊥平面PAD且PD⊆平面PAD，∴CD⊥PD…（10分）
在Rt△PCD中，PC=

PD2+CD2

=2

2

∵PA=PD=2，∴PE=

PD2-ED2

=

2

在Rt△PCE中，sin∠PCE=

PE

PC

=

1

2

，可得∠PCE=30°…（11分）
直线PC和底面ABCD所成角的大小为30°．…（12分）

点评：本题给出底面为矩形且一个侧面与底面垂直的四棱锥，证明线面平面并求直线与平面所成角的大小，着重考查了线面平行的判定、面面垂直的判定与性质和直线与平面所成角大小的求法等知识，属于中档题．