Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，E为PC的中点，
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：PB⊥AD；
（3）（文科）求三棱锥C-PDB的体积．
（3）（理科） 求直线PC与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）连接AC交BD于O，连接EO，根据菱形的性质及三角形中位线定理可得PA∥EO，进而根据线面平行的判定定理可得PA∥平面BDE；
（2）取AD的中点F，连接PF，BF，由等腰三角形三线合一可得BF⊥AD，PF⊥AD，进而由线面垂直的判定定理得到AD⊥平面ABCD，最后再由线面垂直的定义得到结论．
（3）（文科）三棱锥C-PDB是一个以△BCD为底面，以PF为高的棱锥，求出底面面积和高代入棱锥体积公式可得答案．
（3）（理科）连接CF，可得∠PCF即为直线PC与平面ABCD所成角，解△PCF可得答案．

解答：证明：连接AC交BD于O，连接EO，
∵E为PC的中点，O为AC中点
∴PA∥EO
又∵PA?平面BDE；EO?平面BDE；
∴PA∥平面BDE；
（2）取AD的中点F，连接PF，BF，
∵PA=PD，
∴PF⊥AD
又∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°
∴在等边三角形ABD中，BF⊥AD
又∵PF∩BF=F
∴AD⊥平面ABCD，
又∵PB?平面ABCD，
∴PB⊥AD；
（3）（文科）∵侧面PAD⊥平面ABCD，侧面PAD∩平面ABCD=AD
又∵PF⊥AD，
∴PF⊥平面ABCD
∴三棱锥C-PDB是一个以△BCD为底面，以PF为高的棱锥，
∴三棱锥C-PDB的体积V=

1

3

•S_△BCD•PF=

1

3

•（

1

2

×2×2×sin60°）•

3

=1
（3）（理科）连接CF，
∵△ABD为正三角形，
∴BF⊥AD，
又∵侧面PAD⊥平面ABCD，侧面PAD∩平面ABCD=AD
又∵PF⊥AD，
∴PF⊥平面ABCD
∴∠PCF即为直线PC与平面ABCD所成角，
在△CDF中，CD=2，CF=1，∠CDF=120°
由余弦定理得CF=

7

在Rt△PFC中，PF=

3

∴tan∠PCF=

PF

CF

=

21

7

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，棱锥的体积，其中熟练掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法是解答的关键．