题目内容
已知函数f（x）=ax3+b，其图象在点P处的切线为l：y=4x-4，点P的横坐标为2（如图）．求直线l、直线x=0、直线y=0以及f（x）的图象在第一象限所围成区域的面积．分析：先利用导数求出该点的斜率，然后求出切点的坐标，得出函数的解析式，最后根据定积分即可求出直线l、直线x=0、直线y=0以及f（x）的图象在第一象限所围成区域的面积．
解答：解：f′（x）=3ax2．∴f′（2）=12a，
切线的斜率 k=12a，∵切线方程为：y=4x-4，∴切点坐标为了（2，4）
∴12a=4，∴a=
，且f（2）=ax3+b=4，∴b=
，
即a=
， b=
，f(x)=
x3+
，
直线l：y=4x-4与x轴的交点的横坐标为1，
所以直线l、直线x=0、直线y=0以及f（x）的图象在第一象限所围成区域的面积为：
S=
(
x3+
)dx+
[(
x3+
)-(4x-4)]dx
=(
x4+
x)
+(
x4+
x-2x2)
=
+
+
×24+
×2-2×22-（
+
-2）=2．
切线的斜率 k=12a，∵切线方程为：y=4x-4，∴切点坐标为了（2，4）
∴12a=4，∴a=
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
即a=
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
直线l：y=4x-4与x轴的交点的横坐标为1，
所以直线l、直线x=0、直线y=0以及f（x）的图象在第一象限所围成区域的面积为：
S=
| ∫ | 1 0 |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| ∫ | 2 1 |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
=(
| 1 |
| 12 |
| 4 |
| 3 |
| | | 1 0 |
| 1 |
| 12 |
| 16 |
| 3 |
| | | 2 1 |
=
| 1 |
| 12 |
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 12 |
| 16 |
| 3 |
| 1 |
| 12 |
| 16 |
| 3 |
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了定积分，属于中档题．
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