题目内容
如图，在三棱锥
中，
，
，点
分别是
的中点，
底面
．
（1）求证：
平面
；
（2）当
时，求直线
与平面
所成角的余弦值；
（3）当
为何值时，
在平面内的射影恰好为
的重心？
【答案】
解：（1）证明：
平面
，
．
以
为原点，建立如图所示空间直角坐标系
．
设
，则
．
设
，则
．
为
的中点，
．
，
．
，
平面
．
（2）
，即
，
，
可求得平面
的法向量
．
．
设
与平面所成的角为
，则
．
与平面所成的角为
．
（3）
的重心
，
，
平面，
．
又
，
．
．
，即
．
反之，当时，三棱锥
为正三棱锥．
在平面内的射影为的重心．
【解析】略
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如图，在三棱锥
中，
，
，
，
．
；
的大小；
到平面
的距离．
中，侧面
与侧面
均为等边三角形，
，
为
中点．
平面
；
的余弦值． （本题12分）
中，
两两垂直且相等，过
的中点
作平面
∥
，且
于
，交
的延长线于
．
平面
；
，求二面角
的余弦值.
中，已知点
、
、
分别为棱
、
、
的中点.
∥平面
；
，
，求证：平面
⊥平面
中，
，
为
中点。（1）求证：
平面
上是否存在一点
，使二面角
的平面角的余弦值为
？若存在，确定