Question

如图，已知正方体棱长为1，求证：平面B₁AD₁∥平面BC₁D，并写出这两个平行平面间的距离．

Answer 1

分析：利用面面平行的判定定理转化为证明D₁B₁∥平面DBC₁，AD₁∥平面DBC₁，进而转化为证明线线平行即可；先利用线面垂直的判定定理证明A₁C⊥平面B₁AD₁，由面面平行的性质知A₁C⊥平面BC₁D，设A₁C分别交平面B₁AD₁，平面BC₁D点O₁，O₂，则O₁O₂即为量平行平面间的距离，利用等积法可求得A₁O₁，CO₂，从而可求得O₁O₂，即所求距离．

解答：解：因为B₁B∥D₁D，B₁B=D₁D，
所以四边形DD₁B₁B为平行四边形，所以D₁B₁∥DB，
又D₁B₁?面BDC₁，DB?平面DBC₁，
所以D₁B₁∥平面DBC₁，
同理AD₁∥平面DBC₁，
又AD₁∩D₁B₁=D₁，D₁B₁?平面B₁AD₁，AD₁?平面B₁AD₁，
所以平面B₁AD₁∥平面BC₁D；
连接A₁C，A₁D，
因为CD⊥平面AA₁D₁D，AD₁?平面AA₁D₁D，所以CD⊥AD₁，
又AD₁⊥A₁D，CD∩A₁D=D，
所以AD₁⊥平面A₁DC，
A₁C?平面A₁DC，所以AD₁⊥A₁C，
同理可证AB₁⊥A₁C，
又AD₁∩AB₁=A，所以A₁C⊥平面B₁AD₁，
而平面B₁AD₁∥平面BC₁D，所以A₁C⊥平面BC₁D，
设A₁C分别交平面B₁AD₁，平面BC₁D点O₁，O₂，则O₁O₂即为两平行平面间的距离，
在三棱锥中，VA-A1B1D1=VA1-AB1D1，即

1

3

×S△A1B1D1×AA₁=

1

3

×S△AB1D1×A₁O₁，
所以

1

2

×1×1×1=

3

4

×(

2

)2×A₁O₁，解得A₁O₁=

3

3

，
根据正方体的对称性可求得CO₂=

3

3

，所以O₁O₂=

1

3

A₁C=

3

3

，
所以这两个平行平面间的距离为

3

3

．

点评：本题考查空间点、线、面间的距离计算，考查学生的空间想象能力、计算能力及逻辑推理能力，熟记相关判定定理性质定理是解决该类题目的基础．