Question

在(3x

1

3

+x

1

2

)n的二项展开式中各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若h+t=272，则其二项展开式中x²项的系数为

1

．

Answer 1

分析：给二项式中的x赋值1求出展开式的各项系数的和t；利用二项式系数和公式求出h，代入已知的等式，解方程求出n的值，得到表达式，求出二项式中x²项的系数即可．

解答：解：令二项式中的x为1得到各项系数之和t=4ⁿ
又各项二项式系数之和h=2ⁿ
∵t+h=272，
∴4ⁿ+2ⁿ=272，
解得n=4，
所以(3x

1

3

+x

1

2

)n=(3x

1

3

+x

1

2

)4，
它的展开式的通项为

C

K 4

34-Kx

4-k

3

+

k

2

，
二项展开式中x²项时k=4，
二项展开式中x²项的系数为：1；
故答案为：1．

点评：本题考查解决展开式的各项系数和问题常用的方法是赋值法、考查二项式系数的性质：二项式系数和为2ⁿ．