Question

若函数f（x）满足条件：当x₁，x₂∈[-1，1]时，有|f（x₁）-f（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，则称f（x）∈Ω．对于函数g（x）=x³，h（x）=

1

x+2

，有（　　）

• A、g（x）∈Ω且h（x）∉Ω
• B、g（x）∉Ω且h（x）∈Ω
• C、g（x）∈Ω且h（x）∈Ω
• D、g（x）∉Ω且h（x）∉Ω

Answer 1

分析：先对f（x）讨论，利用立方差公式将|f（x₁）-f（x₂）|分解因式为|x₁-x₂|•|x₁²+x₁x₂+x₂²|，再根据自变量在闭区间[-1，1]上取值，可得|x₁²+x₁x₂+x₂²|≤x₁²+|x₁x₂|+x₂²≤3，因而|f（x₁）-f（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，得f（x）∈Ω；
再对g（x）讨论，将差通分可得|g（x₁）-g（x₂）|=|

x1-x2

(x1+2)(x2+2)

|，根据自变量在闭区间[-1，1]上取值再结合倒数的方法证出

1

3

≤|

1

x1+2

|≤1且

1

3

≤|

1

x2+2

|≤1，可得故|

x1-x2

(x1+2)(x2+2)

|≤|x₁-x₂|，因而|g（x₁）-g（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，可得g（x）∈Ω

解答：解：根据题意得：
（1）|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁³-x₂³|=|x₁-x₂|•|x₁²+x₁x₂+x₂²|
因为x₁，x₂∈[-1，1]，所以|x₁²+x₁x₂+x₂²|≤x₁²+|x₁x₂|+x₂²≤3
所以有|f（x₁）-f（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，可得f（x）∈Ω
（2）|g（x₁）-g（x₂）|=|

1

x1+2

-

1

x1+2

|=|

x1-x2

(x1+2)(x2+2)

|
因为x₁，x₂∈[-1，1]，所以|

1

x1+2

| ∈[

1

3

，1]，|

1

x2+2

| ∈[

1

3

，1]
故|

x1-x2

(x1+2)(x2+2)

|≤|x₁-x₂|≤3|x₁-x₂|
所以有|g（x₁）-g（x₂）|≤3|x₁-x₂|成立，可得g（x）∈Ω
综合（1）（2）可得，g（x）∈Ω且h（x）∈Ω
故选C

点评：本题考查了函数恒成立的问题，属于中档题．做题时应该注意运用函数的简单性质与不等式证明相结合技巧的应用．