Question

（2012•自贡一模）己知数列{a_n}满足a₁，a_n+1=

an

3an+1

．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）记S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）　由an+1=

an

3an+1

，得

1

an+1

-

1

an

=3，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由anan+1=

1

(3n-2)(3n+1)

=（

1

3n-2

-

1

3n+1

）×

1

3

，利用裂项求和法能够求出S_n．

解答：解：（Ⅰ）由an+1=

an

3an+1

，得

1

an+1

-

1

an

=3，（3分）
∴数列{

1

an

}是首项为1，公差为3的等差数列，
∴

1

an

=1+3(n-1)=3n-2，
即an=

1

3n-2

．（6分）
（Ⅱ）∵anan+1=

1

(3n-2)(3n+1)

=（

1

3n-2

-

1

3n+1

）×

1

3

，（9分）
∴Sn=

1

3

[(1-

1

4

)+(

1

4

-

1

7

)+(

1

7

-

1

10

)+…+（

1

3n-2

-

1

3n+1

）]
=

1

3

(1-

1

3n+1

)=

n

3n+1

．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．