题目内容

已知函数 $数学公式$ ，数列{a_n}满足a₁=a（a≠-2，a∈R）， $数学公式$ ．
（Ⅰ）若数列{a_n}是常数列，求a的值；
（Ⅱ）当a₁= $数学公式$ 时，记 $数学公式$ ，证明数列{b_n}是等比数列，并求出{b_n}的通项公式．

解：（Ⅰ）依题意得，a_n+1= $\text{[math]}$ ，
∵a₁=a（a≠-2，a∈R），数列{a_n}是常数列，
∴a_n+1=a_n=a，
∴ $\text{[math]}$ =a，
∴a=1或a=0（舍），
∴a=1；
（Ⅱ）证明∵a_n+1= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ -1= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ -1），又b_n= $\text{[math]}$ -1（n∈N^*），
∴b_n+1= $\text{[math]}$ b_n，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，又a₁= $\text{[math]}$ ，b₁= $\text{[math]}$ -1= $\text{[math]}$ ，
∴数列{b_n}是以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列，
∴b_n= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）若数列{a_n}是常数列，则a₂=a₁=a，即可求得a的值；
（Ⅱ）当a₁= $\text{[math]}$ 时，可求得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，利用等比数列的概念可证明数列{b_n}是等比数列，从而可求得{b_n}的通项公式．
点评：本题考查等比关系的确定，考查等比数列的通项公式，证明数列{b_n}是等比数列是难点所在，考查转化与运算能力，属于中档题．