题目内容
某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）
（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；
（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；
（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
分析：（1）由于A产品的利润y与投资量x成正比例，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，故可设函数关系式，利用图象中的特殊点，可求函数解析式；
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10-x万元，设企业利润为y万元．利用（1）由此可建立函数，采用换元法，转化为二次函数．利用配方法求函数的最值．
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10-x万元，设企业利润为y万元．利用（1）由此可建立函数，采用换元法，转化为二次函数．利用配方法求函数的最值．
解答：解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元．
由题意设f（x）=k1x，g(x)=k2
．由图知f(1)=
，∴k1=
又g（4）=1.6，∴k2=
．从而f(x)=
x(x≥0)，g(x)=
(x≥0)（8分）
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10-x万元，设企业利润为y万元．
y=f(x)+g(10-x)=
+
（0≤x≤10）
令
=t，则y=
+
t=-
(t-2)2+
(0≤t≤
)
当t=2时，ymax=
=2.8，此时x=10-4=6（15分）
答：当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，
该企业获得最大利润，利润为2.8万元． （16分）
由题意设f（x）=k1x，g(x)=k2
| x |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
又g（4）=1.6，∴k2=
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| x |
（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10-x万元，设企业利润为y万元．
y=f(x)+g(10-x)=
| x |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 10-x |
令
| 10-x |
| 10-t2 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 14 |
| 5 |
| 10 |
当t=2时，ymax=
| 14 |
| 5 |
答：当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，
该企业获得最大利润，利润为2.8万元． （16分）
点评：本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查正比例函数模型，关键是将实际问题转化为数学问题．
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