Question

已知函数f(x)=a+

2

x-1

，g(x)=f(2x)
（1）若g（x）是奇函数，求实数a的值；
（2）用定义证明函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．

Answer 1

分析：（1）特值法：根据奇函数的性质有g（-1）+g（1）=0，由此可解；
（2）设x₁＜x₂＜0，通过作差比较g（x₁）与g（x₂）的大小，依据减函数定义可证．

解答：解：（1）g（x）=a+

2

2x-1

，g（1）=a+2，g（-1）=a-4，
因为g（x）为奇函数，所以g（1）+g（-1）=0，解得a=1，
经检验，a=1时g（x）为奇函数，所以a=1．
（2）g（x）=f（2^x）=a+

2

2x-1

，
设x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
则g（x₁）-g（x₂）=

2

2x1-1

-

2

2x2-1

=

2(2x2-2x1)

(2x1-1)(2x2-1)

．
因为x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
所以1＞2x2＞2x1，所以g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂）．
根据函数单调性的定义知函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，属基础题，定义是解决该类问题的常用方法．