题目内容

在函数y=log_ax（a＞1，x＞1）的图象有A、B、C三点，横坐标分别为m，m+2，m+4．
（1）若△ABC面积为S，求S=f（m）；
（2）求S=f（m）的值域；
（3）确定S=f（m）的单调性．

解：分别由A、B、C三点向x轴作垂线，交点为D，E，F
S_△ABC=S_ABED+S_BCFE-S_ACFD= $\text{[math]}$ •2•{[log_am+log_a（m+2）]+[log_a（m+2）+log_a（m+4）]}-2•[log_am+log_a（m+4）]
=2log_a（m+2）-log_am-log_a（m+4）
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
∵m＞1，∴t=m²+4m为增函数，
∴原函数为减函数，
∴0＜f（m）≤ $\text{[math]}$
即函数S=f（m）的值域为（0， $\text{[math]}$ ]．
分析：（1）分别由A、B、C三点向x轴作垂线，交点为D，E，F，根据S_△ABC=S_ABED+S_BCFE-S_ACFD和D，E，F的坐标，进而得出函数f（m）的表达式．
（2）由（1）中得f（m）= $\text{[math]}$ ，先根据 m＞1，推断t=m²+4m为增函数，进而推断函数f（m）为减函数，根据m的范围，求得函数的值域．
（3）由（1）中得f（m）= $\text{[math]}$ ，先根据 m＞1，推断t=m²+4m为增函数，进而推断函数f（m）为减函数，
点评：本题主要考查了函数单调性的应用．常涉及利用单调性求函数的值域和最值等问题．