Question

（理）已知ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且==λ（0＜λ＜1）．
（1）求证不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（2）若平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60°，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，我们易得到CD⊥平面ABC，又由E、F分别是AC、AD上的动点，且==λ，故EF∥CD即EF⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，即可得到答案．
（2）过点C作CZ∥AB，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz．分别求出各顶点的坐标，并根据ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，分别求出平面BEF的法向量和平面BCD的法向量，然后根据平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60°，代入向量夹角公式，构造一个关于λ的方程，解方程即可得到平面BEF与平面BCD所成的二面角的大小为60°时λ的值．
解答：解：（1）∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD，
又在△BCD中，∠BCD=90°，
∴BC⊥CD，又AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC，
又在△ACD中E、F分别是AC、AD上的动点，且==λ，
∴EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC，又EF?平面BEF，
∴不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（2）过点C作CZ∥AB，∵AB⊥平面BCD，
∴CZ⊥平面BCD，
又在△BCD中，∠BCD=90°，
∴BC⊥CD，
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz．
又在△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，
∴BD=．
又在Rt△ABD中，∠ADB=60°，
∴AB=，
则C（0，0，0），B（1，0，0），A（1，0，），D（0，1，0）．
∵==λ，∴，
∵=（-1，0，-），∴=（λ，0，-λ），
又∵=（0，0，-），∴==（-λ，0，（1-λ）），
设=（x，y，z）是平面BEF的法向量，则，，
因为EF∥CD，所以，因为=（0，1，0），
所以，
令z=λ得x=（1-1λ），y=0，=（（1-1λ），0，λ），
因为=（0，0，1）是平面BCD的法向量，且平面BEF与平面BCD所成的二面角为60°，
∴cos60°===，
∴λ²-4λ+2=0，
∴或（不合题意，舍去），
故当平面BEF与平面BCD所成的二面角为60°，时．
点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，其中在（2）中，构造适当的空间坐标系，然后结合向量法求二面角的方法，构造一个关于λ的方程，是解答本题的关键．