Question

选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆锥曲线C：

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ为参数）和定点A(0，

3

)，F₁，F₂是此圆锥曲线的左、右焦点．
（1）以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF₂的极坐标方程；
（2）经过点F₁，且与直线AF₂垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF₁|-|NF₁||的值．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函数中的平方关系消去参数θ即可将圆锥曲线化为普通方程，从而求出其焦点坐标，再利用直线的斜率求得直线l的倾斜角，最后利用直线的参数方程形式即得．
（2）由（1）kAF2=-

3

结合直线的垂直关系救是l的斜率、倾斜角，从而得出l的参数方程，代入椭圆C的方程中，得：13t2-12

3

t-36=0，最后利用参数t的几何意义即可求得||MF₁|-|NF₁||的值．

解答：解：（1）C：

x2

4

+

y2

3

=1，轨迹为椭圆，其焦点F₁（-1，0），F₂（1，0）
kAF2=-

3

AF2：y=-

3

(x-1)
即AF2：ρsinθ+ρ

3

cosθ=

3

即ρsin(θ+

π

3

)=

3

2

；
（2）由（1）kAF2=-

3

，
∵l⊥AF₂，∴l的斜率为

3

3

，倾斜角为30°，
所以l的参数方程为

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

（t为参数）
y=

3

3

(x+1)，代入椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1，得
代入椭圆C的方程中，得：13t2-12

3

t-36=0
因为M、N在F₁的异侧||MF1|-|NF1||=|t1+t2|=

12 3

13

点评：本小题主要考查简单曲线的极坐标方程、直线的参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．