题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的左右两焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆C上的一点，且在x轴的上方，H是PF₁上一点，若 $数学公式$ ， $数学公式$ （其中O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C离心率e的最大值；
（Ⅱ）如果离心率e取（Ⅰ）中求得的最大值，已知b²=2，点M（-1，0），设Q是椭圆C上的一点，过Q、M两点的直线l交y轴于点N，若 $数学公式$ ，求直线l的方程．

解：（Ⅰ）由题意知PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁
则有△F₁OH与△F₁PF₂相似，所以 $\text{[math]}$ …（2分）
设F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0，P（c，y₁），则有 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ 根据椭圆的定义得： $\text{[math]}$ …（4分）
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ …（6分）
显然 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是单调减函数，当 $\text{[math]}$ 时，e²取最大值 $\text{[math]}$ ．
所以椭圆C离心率e的最大值是 $\text{[math]}$ …（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 $\text{[math]}$ ，解得a²=4，
∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ …（10分）
由题意知直线l的斜率存在，故设其斜率为k，则其方程为y=k（x+1），N（0，k）
设Q（x₁，y₁），由于 $\text{[math]}$ ，所以有（x₁，y₁-k）=2（-1-x₁，-y₁）
∴ $\text{[math]}$ …（12分）
又Q是椭圆C上的一点，则 $\text{[math]}$ ，解得k=±4，
所以直线l的方程为4x-y+4=0或4x+y+4=0…（14分）
分析：（Ⅰ）根据题意，△F₁OH与△F₁PF₂相似，所以 $\text{[math]}$ ，|PF₂|= $\text{[math]}$ ，|PF₁|=2a- $\text{[math]}$ ，从而可求λ= $\text{[math]}$ ，于是有 $\text{[math]}$ ，而λ∈[ $\text{[math]}$ ]，可求椭圆C离心率e的最大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知道椭圆C离心率e的最大值是 $\text{[math]}$ ，椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ，直线l的其方程为y=k（x+1），N（0，k）设Q（x₁，y₁），由 $\text{[math]}$ 可得（x₁，y₁-k）=2（-1-x₁，-y₁），求得x₁，y₁，代入椭圆方程可求得k．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查椭圆的性质，难点在于（Ⅰ）中离心率e与λ关系的分析整理，突出转化思想与方程思想的运用，综合性强，属于难题．