题目内容

（1）已知函数f（x）=-x²+4（x∈（-1，2）），P、Q是f（x）图象上的任意两点．
①试求直线PQ的斜率k_PQ的取值范围；
②求f（x）图象上任一点切线的斜率k的范围；
（2）由（1）你能得出什么结论？（只须写出结论，不必证明），试运用这个结论解答下面的问题：已知集合M_D是满足下列性质函数f（x）的全体：若函数f（x）的定义域为D，对任意的x₁，x₂∈D，（x₁≠x₂）有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|．
①当D=（0，1）时，f（x）=lnx是否属于M_D，若属于M_D，给予证明，否则说明理由；
②当 $数学公式$ ，函数f（x）=x³+ax+b时，若f（x）∈M_D，求实数a的取值范围．

解：（1）=1 ①设P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））是f（x）图象上的任意两点（x₁≠x₂），则 $\text{[math]}$ ，
由x₁，x₂∈（-1，2），知-（x₁+x₂）∈（-4，2），
∴直线PQ的斜率k_PQ的取值范围是（-4，2）；
②由f′（x）=-2x，x∈（-1，2），得f′（x）∈（-4，2），
∴f（x）图象上任一点切线的斜率k的范围是（-4，2）；
（2）由（1）得：函数y=f（x）图象上任意两点P、Q连线的斜率 $\text{[math]}$ 的取值范围，
就是曲线上任一点切线的斜率（如果有的话）的范围（其实由导数的定义可得）．
①∵ $\text{[math]}$ ，∴若x∈（0，1），f′（x）＞1?|f′（x）|＞1，
∴ $\text{[math]}$ ，当x₁，x₂∈（0，1）时，f（x）=lnx∉M_D．
②由f（x）=x³+ax+b?f′（x）=3x²+a，当 $\text{[math]}$ 时，
a＜f′（x）＜1+a．∵f（x）∈M_D，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，得-1≤a≤0．
∴实数a的取值范围是[-1，0]．
分析：（1）①设P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））由斜率公式用两点坐标表示出，再根据定义域求范围．
②求出导函数的值域，即为割线的斜率的取值范围．
（2）得出结论，函数y=f（x）图象上任意两点P、Q连线的斜率 $\text{[math]}$ 的取值范围，
就是曲线上任一点切线的斜率（如果有的话）的范围；对于①解出导函数，当x∈（0，1），导数大于1，由（1）的结论 $\text{[math]}$ ，这与|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|矛盾，f（x）=lnx∉M_D．对于②解出导函数由定义域知a＜f′（x）＜1+a．若f（x）∈M_D，则可根据定义得出关于a的不等式组，解之，有解既得实数a的取值范围．
点评：考查函数图象上两点连线的斜率与函数在这一段上的导数的值域的关系，对于第（II）问，其中①判断该函数是否符合定义，其②是根据函数符合定义转化成不等式组求参数．请读者认真体会这两个题型的同同．